Гравитационное линзирование

О гравитационном линзировании в сети существует множество материалов. Цель данной статьи, кроме желания высказаться, есть попытка собрать в одном месте самое на мой взгляд интересное, публикуемое во множестве различных источников.

Гравитационное линзирование основано на факте отклонения квантов электромагнитного излучения в гравитационном поле. Кванты могут относиться к любому частотному диапазону – от длинных радиоволн до жесткого гамма-излучения. Причем, величина отклонения квантов в поле не зависит от их энергии, то есть, от частоты. Поэтому в отличие от обычного преломления света обычной линзой хроматическая аберрация здесь не наблюдается. Первым физическим экспериментом, подтвердившим это отклонение, был эксперимент Эддингтона-Дайсона, о котором я попробовал рассказать очень подробно в статье «Эксперимент Эддингтона – факты и домыслы».

Расширение пространства в ньютоновской физике

Предупреждение. Данная статья основана на использовании определенного математического аппарата. Но он очень прост, и человек, закончивший школу с оценкой по математике не ниже четверки, легко все поймет.

Фундаментальнейшим понятием современной космологии является явление расширения пространства-времени, причем, скорость такого расширения со временем возрастает.

Факт расширения пространства-времени следует вообще говоря из общей теории относительности (ОТО) в предположении однородности и изотропности Вселенной. Однородность и изотропность Вселенной следует одно из другого. Однородность означает равномерное заполнение пространства материей, изотропность есть независимость свойств от направления наблюдения. Принцип однородности Вселенной назван основным космологическим принципом.

Однако установить закон расширения пространства можно из достаточно простых законов классической физики, не прибегая к решениям уравнений Эйнштейна, используя при этом математику минимальной сложности. Данный материал основан на публичной лекции одного из крупнейших современных физиков – Леонарда Сасскинда [1].

Цель публикации: а) показать, как описывается математически расширение Вселенной, и б) показать на примере непротиворечивость ньютоновской и эйнштейновской теорий. Математический аппарат вполне доступен тем, кто знает, что такое производная.

Для того, чтобы описать расширение Вселенной математическими формулами, вводится понятие связанной системы координат. Эта система координат не имеет размерности длин, она привязана к объектам пространства, как бы «вморожена» во Вселенную.

Рис. 1. Связанная система координат.

Представим для наглядности некую двумерную Вселенную, начертим в ней произвольную, удобную для нас координатную сетку и привяжем ее к объектам Вселенной, как показано на рис. 1a. На этом рисунке расстояние от начала координат до галактики B равно 5 единиц длины (делений), которые мы выбрали для этой системы. Ниже прочерчена шкала реальных, метрических длин, в нашем случае в мегапарсеках (Мпк). Из рисунка видно, что расстоянию в 5 делений соответствует реальное расстояние в 50 Мпк. Если эта Вселенная расширяется, то такая система координат «растягивается» вместе с ней так, как будто она начерчена на резиновой пленке. На рис. 1b показана расширившаяся в 2 раза Вселенная, теперь расстоянию в 5 делений соответствует уже метрическое расстояние в 100 Мпк. Поскольку Вселенная однородна, то такую систему для нее мы можем ввести и в трехмерном случае, при расширении она будет «растягиваться» во все стороны с одинаковой скоростью.  

Если расстояние между объектами в связанной системе координат равно Δx, то реальное расстояние L между этими объектами – в метрах, парсеках и т.д., можно представить в виде:

L = a(t) ∙ Δx                       (1)

где a(t) – так называемый масштабный коэффициент, позволяющий перейти от длин в связанной системе координат к реальным, метрическим длинам. Он имеет размерность длины, и в общем случае зависит от времени. Продифференцируем по времени эту формулу, не забывая о том, что Δx – это фиксированная величина, а производная по времени от расстояния есть скорость v галактик друг относительно друга:

dL/dt = v = å(t) ∙ Δx           (2)

Здесь и далее – общепринятое обозначение: точка над символом означает первую производную по времени, две точки – вторую производную.

Если поделить формулу (2) на (1), то в правой части Δx сократится, в левой части будет отношение взаимной скорости галактик к расстоянию между ними, а это есть не что иное, как знаменитый параметр Хаббла:

v/L =  å(t)/a(t) = H(t)

что соответствует формуле Хаббла:

v = H(t) ∙ L

Параметр Хаббла однозначно определяется масштабным коэффициентом. Обращаем внимание на тот факт, что параметр Хаббла зависит от времени: H = H(t). В астрофизике известно, что измеряемые значения этого параметра соответствуют текущему моменту времени t₀. Поэтому современное его значение часто обозначается как H₀=H(t₀).

Понятно, что масштабный коэффициент есть какая-то величина, как-то определяемая какими-то параметрами Вселенной. Попробуем уточнить наше предположение.

Обозначим через μ массу вещества, заключенную в единичном объеме в связанной системе координат, то есть, плотность вещества в связанной системе координат. Тогда в фиксированном объеме Δx∙Δy∙Δz в связанной системе координат будет заключена масса

M = μ ∙ ΔxΔyΔz

В связанной системе координат эта масса не меняется с расширением Вселенной. Метрический объем этой части пространства в соответствии с (1) будет равен:

V = a³(t) ∙ ΔxΔyΔz

а плотность вещества в нем ρ=M/V будет равна

ρ(t) = μ / a³(t)            (3)

– она зависит от времени.

Выберем в произвольном месте Вселенной какую-то произвольную точку и привяжем к ней центр связанной системе координат. Вокруг этого центра проведем сферу радиуса R, так, чтобы какая-то достаточно удаленная галактика B находилась на поверхности этой сферы. Если x, y, z – координаты точек этой сферы, то очевидно, что

R = √(x²+y²+z²)

Тогда метрическое расстояние между центром и галактикой:

L = a(t) ∙ R

Простым дифференцированием два раза по времени найдем скорость и ускорение движения галактики B относительно центра:

v = å(t) ∙ R                 (4)

w = ä(t) ∙ R                (5)

Найдем силу притяжения галактики B веществом со стороны всего вещества Вселенной, исходя из обычного ньютоновского закона. Для этого воспользуемся теоремой Ньютона, согласно которой равнодействующая сил тяготения на галактику B от всех масс вне нашей сферы равна нулю, а массы внутри сферы притягивают ее так, как будто они сосредоточены в ее центре. Сумма этих масс равна плотности ρ, помноженной на объем сферы:

M = 4/3 ∙ πa³R³ρ       (6)

И если масса галактики B равна m, то по закону Ньютона и в соответствии с теоремой Ньютона сила притяжения:

F = –GMm/L²

где G – гравитационная постоянная. Исходя из второго закона Ньютона, галактике будет сообщаться ускорение w=F/m, сопоставляя это с формулой (5) получаем:

ä(t) ∙ R = –MG/(a²R²)

Откуда

ä/a = –MG/(a³R³)

Известно, что объем V сферы радиуса L равен:

V = 4/3 ∙πL³ = 4/3 ∙ πa³R³

используя формулу (6) получаем:

Уравнение говорит о том, что если Вселенная непустая: ρ≠0, то Вселенная нестатична: ä(t) ≠ 0     

Однако, пойдем еще дальше и попробуем связать параметр Хаббла со свойствами Вселенной.

При движении галактики B ее полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

E = mv²/2 – GMm/L

Подставляя сюда значения для расстояния и скорости можно записать:

E = må²R²/2 – GMm/aR

Очевидно, что судьба галактики B решающим образом зависит от ее скорости – если скорость такова, что кинетическая энергия меньше потенциальной:  E<0 , то массы в выделенном нами объеме тяготением в конечном счете вернут ее назад. Если E>0, то галактика преодолеет силу тяготения и будет бесконечно удаляться. Случай E=0 является граничным:

må²R²/2 – GMm/aR = 0

Домножим это уравнение на 2/ma²R²:

å²/a² = 2MG/(a³R³)

Если в правой части числитель и знаменатель домножить на 4π/3, то в знаменателе будет объем V=4/3∙πa³R³, а масса M, поделенная на этот объем, есть плотность вещества во Вселенной ρ, и мы получаем следующий вид уравнения:

Это – знаменитое уравнение Фридмана, полученное им в результате решения уравнений Эйнштейна. Левая его часть, как показано выше, есть квадрат параметра Хаббла:

H²(t) = 8π/3∙Gρ                 (8)

То есть, значение параметра Хаббла решающим образом определяется текущей плотностью вещества во Вселенной.

Может возникнуть вопрос: а в чем же тогда ценность ОТО, если уравнение Фридмана можно элементарно получить и без нее, достаточно знать основы ньютоновской физики?

Во-первых, если вы обратили внимание, то в начале статьи мы заявили, что расширение пространства имеет место, и только потом вычислили его характеристики. Из ОТО же расширение пространства не постулируется, а вытекает из сути теории, из решения уравнений Эйнштейна.

Во-вторых, если обратиться к научной литературе, например, [2], то там уравнение Фридмана имеет вид немножко не такой:

Он отличается от нашего дополнительным вычитаемым, в нем величина k называется параметром кривизны. Знак этого параметра соответствует знаку кривизны пространства. Обратим внимание на то, что выбирая пограничный случай E=0, мы решали задачу для неискривленной, эвклидовой Вселенной, и при этом получили k=0, что совершенно естественно для ньютоновской физики, которая не знает, что пространство может быть искривленным. Таким образом, данная задача может служить примером того, что физика Ньютона есть частный случай физики Эйнштейна для плоского пространства. Обе теории при этом дают одинаковый результат. Это говорит о том, что обе теории верны. Естественно, что в общем и целом ОТО значительно богаче ньютоновской физики. Решение уравнения Фридмана определяет вид зависимости a(t) для рассмотренных случаев кривизны, мы здесь его приводить не будем.

Это не единственный пример такого соответствия. Например, Карл Шварцшильд, решая уравнения Эйнштейна для центрально-симметричного гравитационного поля, получил решение («метрика Шварцшильда»), в котором содержится гравитационный радиус – я думаю, всем известны его свойства. Впервые это понятие было предложено еще в 1783 году английским священником Джоном Митчелом. Решение Шварцшильда никак не основывается на концепции Митчела. В метрике Шварцшильда при достаточно малых массах теория относительности переходит в обычную ньютоновскую физику, иначе говоря, теория Шварцшильда включает в себя концепцию Митчела как частный случай. То же можно сказать и о преобразованиях Лоренца, которые были получены несколькими авторами в рамках классической физики, и которые с появлением теории относительности стали ее элементами. Более того, такие соответствия присущи и другим физическим теориям, пришедшим на смену классической физике, например, квантовой механике.

Выводы.

1. Если предположить, что Вселенная расширяется, то основное уравнение – уравнение Фридмана, описывающее это расширение, можно получить в рамках классической ньютоновской механики при помощи несложного математического аппарата.

2. Полученное таким образом уравнение Фридмана описывает расширение плоской, эвклидовой Вселенной.

3. Полученные результаты иллюстрируют тот факт, что ньютоновская механика является частным случаем ОТО.

Цитированные источники:

1. Cosmology (2013) — Leonard Susskind — Stanford University.

2. О.В. Верходанов, Ю.Н. Парийский. Радиогалактики и космология.