Теория относительности - четырехмерная физика

Очень часто теорию специальную относительности (СТО) рассматривают, начиная с конца. В первую очередь бросаются в глаза необычные преобразования Лоренца. Затем говорят о постоянстве скорости света. Ну и, конечно, о знаменитой формуле E=mc². Все правильно, все хорошо, все замечательно. Все эти стороны, безусловно, важны и интересны. Но на одну сторону, на мой взгляд, самую важную, мало, кто обращает внимание. И это приводит к неправильному пониманию само́й сути теории.

Я имею в виду тот факт, что в теории Эйнштейна, как в механической, так и в электродинамической ее части, основой является понятие четырехмерного пространственно-временного континуума. Это для кого-то звучит пугающе непонятно, но на самом деле ничего сложного в этом нет. Выводы СТО, такие, как изменение хода времени, сокращение длин, увеличение массы, кажутся странными и от этого вызывают недоверие. На самом деле странного в них ничего нет, при ближайшем рассмотрении оказывается, что было бы странно, если бы все было не так. Все странности исчезают, если немножко разобраться в четырехмерности пространства-времени, в котором мы живем. Тем более, что никакой реальной четырехмерности на самом деле и нет. Далее вместо «четырех…» и «четырехмерный» я буду для краткости писать «4-».

Логика построения специальной теории относительности (СТО) стала уже методической классикой, и строится она следующим образом.

Назовем системой отсчета, связанной с каким-либо объектом, систему трех пространственных координат, например, {x,y,z}, и время t, определяемого по точным часам, относящихся к этому объекту. Системы отсчета, движущиеся друг относительно друга прямолинейно и с постоянной скоростью, называются инерциальными, то есть, движущимися по инерции, без приложения сил.

Сначала вводятся два основных постулата. Постулаты есть в любой теории, и, чем их больше, тем хуже теория. В СТО их всего два. 

Постулат №1 – принцип относительности, высказанный еще Галилео Галилеем, и утверждающий, что для двух инерциальных систем отсчета ни одним физическим экспериментом нельзя определить, движутся ли они обе относительно друг друга, или одна из них покоится. 

Постулат №2 – утверждается, что справедлив принцип близкодействия, то есть, все взаимодействия передаются от объекта к объекту с конечной скоростью. Существует верхний предел этой скорости, и он равен скорости света в вакууме:

c = 299 792 458 м/с. 

А, значит, в природе невозможно движение со скоростью v>c, в противном случае взаимодействие можно было бы передавать со скоростью v. Объединение этих двух постулатов называется принципом относительности Эйнштейна.

Базовым элементом как СТО, так и ОТО, является интервал между двумя бесконечно близкими событиями, то есть, событиями, очень близкими по времени и произошедшими в двух очень близких точках пространства. В классической теории интервал между такими событиями определяется двумя несвязанными величинами – пространственным расстоянием между точками события dl, определяемым из формулы (теорема Пифагора):

dl² = dx² + dy² + dz² 

где dx, dy, dz – проекции расстояния dl на оси координат, и промежутком времени dt между этими событиями. Вся доэйнштейновская механика строилась на этих величинах, поскольку считалось, что пространственные и временные промежутки не зависят от системы отсчета, и поэтому могут являться основой для теории, подчиняющейся галилеевскому принципу относительности.

Однако эксперимент показал, что это не так. Понятие одновременности событий зависит от системы отсчета. Оказалось, что нет никаких выделенных систем отсчета, которые можно считать абсолютно неподвижными. Невозможно установить не только абсолютные значения координат событий, но и расстояния между ними.

Поэтому на следующем этапе построения теории относительности вводится понятие интервала ds между двумя бесконечно близкими событиями как единственной величины, определяемой в соответствии с формулой:

ds² = с²dt² – dl² = c²dt² – dx² – dy² – dz²

С формальной математической точки зрения интервал можно рассматривать как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве, к трем координатным осям которого добавлена временна́я ось в виде произведения ct. Такая псевдоевклидова геометрия носит название геометрии Минковского.  Главным свойством введенного таким образом интервала является его инвариантность, то есть, независимость от системы отсчета, из которой измеряется его значение. Это следует непосредственно (опускаю подробности) из факта независимости скорости света от выбранной системы отсчета. Иначе говоря, если в какой-то инерциальной системе произошли два события с интервалом ds, то в какой бы другой инерциальной системе мы бы его не измеряли, результаты измерения всегда дадут ту же величину ds. Могут отличаться результаты измерения промежутка времени dt, могут отличаться результаты измерения расстояния dl, но результат измерения ds при измерениях из любой системы отсчета даст всегда одно и то же значение.

Данный факт на первый взгляд может показаться маловажным. Но это означает, что вся классическая механика, основанная на координатах {x,y,z} и времени t по отдельности, как на абсолютных величинах, в принципе неправомерна, поскольку эти величины зависят от системы отсчета, от того, в какой системе отсчета они измеряются. Вся классическая механика строится на координатах r(x,y,z) и времени t, а так же на производных dF/dr и dF/dt  каких-то функций F(r,t) как первого, так и более высоких порядков. Здесь r – радиус-вектор объекта, определяемый из известной формулы:

r² = x² + y² + z²

О неправомерности такого построения, в частности, говорит неинвариантность уравнений Максвелла по отношению к галилеевым преобразованиям координат – получается, что эти уравнения справедливы в неподвижной системе отсчета и не сохраняют свой вид в движущейся системе отсчета, если использовать эти преобразования.

В классической механике координаты {x,y,z} некоторой системы К, связаны с координатами {X,Y,Z} другой системы K’, движущейся относительно K со скоростью v, через известные формулы галилеевых преобразований:

– если оси координат параллельны и рассматривается движение вдоль оси X.

В пространстве Минковского из-за разных знаков пространственной и временной частей интервала вывод формул преобразования приводит к другим результатам. Опять-таки, не вдаваясь в подробности, скажу, что из инвариантности интервала ds автоматически (строго математически!) следуют другие формулы для связи координат двух систем отсчета, так же движущихся со скоростью v друг относительно друга:

Это и есть преобразования Лоренца–Фитцджеральда, полученные в разное время разными учеными независимо друг от друга при решении разных задач. Если их называть именами получивших их ученых, то получится «преобразования Лоренца–Фитцджеральда –Пуанкаре–Лармора–Фогта–Эйнштейна».

Сам Г. Лоренц пытался объяснить отрицательные результаты эксперимента Майкельсона–Морли тем, что при движении тела сквозь эфир из-за взаимодействия с этим эфиром оно испытывает реальное сокращение вдоль направления движения:

К таким же результатам пришел и Дж. Лармор, который пытался найти преобразования координат, по отношению к которым уравнения Максвелла инвариантны.

Эйнштейн получил эти преобразования из совершенно иных предпосылок, поэтому все попытки уличить его в плагиате говорят только лишь о незнании «обличителями» сути дела. Не буду вдаваться в излишние подробности, скажу только, что в механике оси координат двух систем отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью, можно рассматривать, как повернутые вокруг начала координат на некоторый угол. Правила преобразования координат тогда можно получить, решая довольно несложную тригонометрическую задачу. Именно так и были выведены преобразования Лоренца.

В СТО эти преобразования можно (и нужно!) интерпретировать, как проекции абсолютного 4-мерного интервала (4-интервала) на координатные оси 3-мерного пространства и на время. Из-за различной ориентации 4-интервала относительно этих осей будут получаться разные результаты измерений. Это иллюстрируется на следующем рисунке.

Слева на части a) изображен вертикально расположенный цилиндр, проектирующийся какими-либо источниками света на нижнюю и на правую боковую плоскости, как условно показано пунктирными линиями со стрелками. На боковой плоскости он отобразится тенью в виде прямоугольника, а на нижней плоскости – в виде круга. Изменим ориентацию цилиндра, повернув его вправо на 45⁰, как показано на части b). На нижней и боковой поверхностях будут проекционные тени в виде прямоугольников с закругленными торцами. Повернем его еще на 45⁰. Теперь, часть c), на нижней проекции будет тень в виде прямоугольника, а на боковой – в виде круга. Сам по себе цилиндр не изменился, только повернулся, но изменились наблюдаемые проекции. 

Совершенно аналогично 4-мерный интервал в 4-мерном пространстве при поворотах не изменяет своей величины, изменяются только наблюдаемые проекции на пространственных и на временно́й координатных осях. Хочу повторить, что реально пространство-время не может являться 4-мерным пространством, это всего лишь математический формализм. Однако, все физические законы выглядят так, как будто движущийся объект находится в таком пространстве.

Но СТО рассматривает кинематическую часть теории только лишь как необходимый аппарат теории, причем большей частью для электродинамической составляющей. При развитии теории обычные векторные величины должны рассматриваться как четырехмерные векторы – 4-векторы. Считается, что пространство Минковского построено на четырех координатах {x₀,x₁,x₂,x₃}, где

а квадрат «длины» 4-радиус-вектора определяется как

иначе говоря, вместо трехмерных переменных F(t,r) осуществляется переход к 4-мерным переменным F(s), где s – 4-мерный интервал. Например, если вектор обычной трехмерной скорости имеет компоненты:

то компоненты 4-скорости:

Интересно, что 4-скорость безразмерна.

При построении релятивистской механики упрощаются многие концепции. Например, в течение ряда столетий для ученых было понятно, что энергия должна быть представлена в виде произведения массы на скорость. Предполагались зависимости: mv¹, mv², mv³ и т.д.  В конце концов было определено, что mv – это импульс, а mv²/2 – это энергия. Долгие попытки разграничения этих величин объяснялись неочевидностью их различия, и та, и другая определяют «энергичность» движущегося тела, и несхожесть их в механике вообще говоря искусственна. В СТО развитие теории приводит к понятию 4-вектора импульса, компоненты которого равны:

Здесь E – полная энергия объекта. Таким образом, энергия как 0-я компонента 4-мерного импульса, оказывается увязанной с обычным импульсом единой физической величиной. Это – не простой фокус с жонглированием понятиями. Это означает, что родственные понятия энергии и импульса являются компонентами одной и той же физической величины. Последовательное рассмотрение связи энергии с импульсом приводит к формуле для полной энергии движущегося тела, не имеющей аналога в классической механике:

Если тело не движется, то в классической механике его энергия, равная mv²/2, обращается в нуль. В СТО резко не так, при v=0 энергия покоящегося тела минимальна и в соответствии с формулой равна:

– знаменитая формула Эйнштейна. Замечательно то, что эта формула получена не из свойств и строения вещества, а чисто из теоретико-механических выводов, из 4-мерной истинности пространства-времени, как вместилища материи. О глубочайшем философском смысле и практической важности этой формулы написаны целые книги. Так же, как и преобразования Лоренца, вид этой формулы, то есть, сочетание букв, был получен несколькими учеными, в том числе и Лоренцем, однако именно в этом смысле она получена Эйнштейном – и никем другим!

Последовательное применение 4-мерности пространства-времени как единого континуума в электродинамике приводит так же к упрощению концепций. Со времен Фарадея было известно о тесной связи явлений электричества и магнетизма, которые до него считали совершенно независимыми. Следующий шаг сделал Дж. Максвелл, который показал, что это две стороны одного явления, электромагнетизма. Уравнения Максвелла устанавливают связь между этими сторонами. Из 4-мерности пространства-времени в СТО следует, что векторные составляющие E_x, E_y, E_z электрического поля и H_x, H_y, H_z магнитного поля являются компонентами одной физической величины – тензора электромагнитного поля, который я привожу здесь чисто с иллюстративными целями:  

Если 4-вектор определяется четырьмя компонентами – своими проекциями на координатные оси, то 4-тензор определяется 4x4 компонентами, представленными в виде матрицы из 4-х строк и 4-х столбцов. В обозначении F_ik индексы i и k нумеруют соответственно строки и столбцы этой матрицы значениями от 0 до 3, так что, например, F₂₁ = H_z. Обратим внимание на то, что матрица антисимметрична, в ней F_ik = –  F_ki, поэтому она содержит фактически 6 независимых компонент – столько же, сколько в сумме содержат векторы поля E и H.

Благодаря 4-мерному представлению электромагнитных величин количество уравнений Максвелла сокращается с четырех до двух, и их вид становится более упрощенным и симметричным. Но самое главное, что демонстрирует справедливость четырехмерного подхода к механике вообще и к электродинамике в частности, является инвариантность полученных уравнений Максвелла к преобразованиям Фитцджеральда–Лоренца. Подробное рассмотрение электродинамических задач в СТО, так же, как и в классической теории, требует привлечения достаточно серьезного математического аппарата – основ дифференциальных уравнений, векторного анализа, тензорной алгебры и т.д., поэтому в таких статьях говорить об этом сложно.

В заключение хочу отметить, что результаты теории относительности многократно и с высочайшей точностью проверены экспериментально. Формулы СТО давно уже стали рабочими формулами не только в физической науке, но и в целом ряде технических дисциплин.

Выводы:

1. Пространственные и временны́е измерения при больших скоростях для разных систем отсчета дают разные результаты, поэтому классическая механика, базирующаяся на пространственных координатах и времени, как на независимых переменных, не может адекватно описывать реальность.

2. Поскольку определить факт наличия «светоносного эфира» не представляется возможным, то и сама концепция такого эфира попросту не нужна.

3. Постулат независимости скорости света от системы отсчета приводит к инвариантности интервала между событиями. Следствием этого в свою очередь является физико-математический аппарат, описывающий физические явления так, как будто они происходят в 4-мерном пространстве-времени (пространстве Минковского). Получаемые при этом временны́е и трехмерные пространственные компоненты физических величин следует рассматривать, как проекции на время и на пространство истинных 4-мерных величин, не зависящих от систем отсчета, то есть, от скорости движения.

4. Уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле, в СТО становятся справедливыми для любых систем отсчета – и покоящихся, и движущихся.