С теорией
относительности я познакомился в 10 классе школы по вышедшей тогда прекрасной
популярной книжке Мартина Гарднера «Теория относительности для миллионов». Конечно
же, одно из наиболее эффектных следствий – парадокс близнецов. Есть два
брата-близнеца, Вася и Петя, Вася – домосед, а Петя, путешественник,
отправляется в далекое космическое путешествие на сверхскоростном звездолете,
развивающем скорость, близкую к скорости света. Возвращаясь на землю, еще
молодой и крепкий Петя встречает Васю, уже старика. Потому что, когда Петя
летал в космосе, время для него двигалось медленнее, согласно известным
преобразованиям Лоренца- Фитцджеральда, важнейшему следствию специальной теории
относительности (СТО). По Гарднеру это и есть парадокс близнецов.
В книге
всячески подчеркивался смысл принципа относительности: любые две инерциальные
системы координат, то есть, движущиеся друг относительно друга равномерно и
прямолинейно, равнозначны для законов физики – законы физики для них одинаковы.
А значит, если мы движемся относительно Вселенной равномерно и прямолинейно, то
это неотличимо от того, что Вселенная так же движется относительно нас. Но как
же быть с парадоксом близнецов? Ведь можно сказать, что путешественник Петя
покоился в своем звездолете, а Вася летал вместе с Землей и со Вселенной, и
именно Петя должен был постареть! Гарднер отвечает на этот вопрос эмоциями – это
же Петя испытывал перегрузки, стартовал-приземлялся, подвергался опасностям на
далекой звезде и т.п. Еще тогда в моем сознании отметилась неудовлетворенность
таким разъяснением, но, изучая СТО впоследствии и будучи совершенно уверенным в
ее справедливости, я на это не обращал внимания.
Оказалось
однако, что парадокс заключается не в том, что один брат стал старше другого, а
именно в том, что согласно принципу
относительности их системы координат равноправны, а значит разницы в возрасте
не должно быть. Этот парадокс, называемый также парадоксом часов, был сформулирован известным физиком Полем
Ланжевеном еще в 1911 году, и после этого обсуждался физиками разного уровня, в
том числе и В.Паули. Где-то в подсознании я и раньше понимал, что проблема не в
самом явлении, а в формулировании этой проблемы. Только недавно я попытался
разобраться, в чем же тут дело, и наткнулся на то, что объяснений парадокса
довольно много, но практически отсутствуют простые и ясные.
Причины
«парадокса» в основном две.
Причина 1. С космическим кораблем Пети связана
неинерциальная система координат, поэтому, строго говоря, к описанию следует привлекать аппарат общей
теории относительности (ОТО).
Причина 2. Даже если считать движение корабля
Пети равномерным и прямолинейным, следует
учитывать проблему синхронизации часов Васи и Пети. При отправлении в
обратный путь с далекой звезды Петя меняет
систему координат, и для правильного расчета в этой точке требуется произвести
синхронизацию часов обоих близнецов. Синхронизация связана с посылкой светового
или радиосигнала, который будет идти значительное время. Этот факт вызывает
некоторые трудности в понимании «парадокса».
Тем, кто
хочет разобраться в проблеме в формулах и цифрах, предлагаю посмотреть для
начала статью в Википедии «Парадокс близнецов». Для еще более детального
рассмотрения, включая рассмотрение с позиций ОТО, предлагаю прочесть статью
одного из известнейших физиков Макса Борна «Космические путешествия и парадокс
часов» в журнале «Успехи физических наук» за сентябрь 1959 года. Журнал публикует
статьи о наиболее значительных проблемах и достижениях физики, имеет свой сайт,
на котором нужно регистрироваться – регистрация безопасна.
Наконец, я
все понял. И цель этой моей статьи –
представить разъяснение проблемы «на пальцах».
Итак, есть теорема.
Пусть Петя, брат-близнец Васи,
отправляется в путь к далекой звезде, находящейся от Земли на расстоянии 10
световых лет. Его звездолет летит со скоростью, близкой к скорости света: v ≈ c, конечно v < c. Пусть эта скорость такова, что коэффициент в
преобразованиях Лоренца:
b = 1 / √(1-v^2/c^2) = 3
- здесь ^2 – операция возведения в квадрат.
Напомню, что коэффициент b (часто используют
греческую букву «бета») показывает, во сколько раз сокращается расстояние и
замедляется время объектов, движущихся относительно некоторой системы
координат. Если рассчитать из этой формулы скорость v для
b=3,
то окажется, что примерно v≈0.65c. Для
того, чтобы не выходить за рамки СТО будем считать, что звездолет мгновенно
разгоняется до скорости v, далее
движется до звезды равномерно и прямолинейно, там мгновенно тормозит, и меняет
свой курс на обратный, снова мгновенно разгоняясь, движется уже к Земле
равномерно и прямолинейно. На Земле мгновенно тормозит, Петя выходит из
звездолета и здоровается с Васей.
Требуется доказать, что а) Вася стал
старше Пети, б) на Земле прошло одно и то же время и по часам Васи, и по измерениям
Пети.
Изобразим все сказанное на чертеже в виде так называемых мировых линий,
иначе говоря, графиков движения обоих близнецов. Будем считать путь Пети
одномерным – вдоль оси X туда и назад. По вертикали расположена ось времени t. Поскольку Вася никуда не двигается с Земли – его
мировая линия есть вертикальная прямая: x = const. В точке A он
попрощался с Петей, а в точке B через много лет снова встретился с ним.
Петя двигался от точки A до точки C
– в этом месте и в этот момент времени он
оказался у звезды – цели путешествия. Достигнув этой цели, он тут же отправился
обратно и в момент времени, соответствующему точке B, оказался на Земле. Из чертежа видно, что путь «туда»
- это мировая линия AC, путь «обратно» – мировая линия
CB. Точки A, B, C называются
событиями, поскольку фиксируют не только местоположение объекта, но и время
фиксации этого местоположения. Так как Петя двигался с постоянной скоростью,
его мировые линии – прямые. Рассчитаем время путешествия и время, прошедшее при
этом на Земле – по часам обоих братьев, то есть, в обеих системах координат.
– В системе координат Васи,
находящегося на Земле. Петя летит до звезды на
расстояние 10 световых лет со скоростью 0.65c. Он пролетит это расстояние за 10 /
0.65 ≈ 15 лет. После этого он разворачивает свой корабль и летит назад к Земле
еще 15 лет. Таким образом, по часам домоседа Васи на Земле от прощания до
встречи прошло 30 лет.
Теперь
Вася считает, сколько же должно «натикать» по его мнению на часах Пети. Зная, что
коэффициент замедления времени у Пети согласно СТО b = 3, он легко вычисляет, что в полете
до звезды по часам Пети прошло 15 / 3 = 5 лет, время обратного пути такое же,
значит, по часам Пети всего прошло 10 лет, и разница их в возрасте должна
составить около 20 лет.
– В системе координат Пети, летящего
в звездолете.
Вселенная
движется навстречу Пете, сидящего в своем корабле. Для всякого движущегося
объекта его длина сокращается в b раз, значит,
расстояние до звезды сократится с 10 до 3.3 световых лет, зная скорость движения
v≈0.65c, время пути
составит 3.3 / 0.65 ≈ 5 лет. Учитывая обратный путь, общее время путешествия
составит 10 лет.
А вот сколько же пройдет времени на Земле по Васиным часам?
Для того,
чтобы не связываться со сменой систем координат и с синхронизацией часов при
этой смене, определим это время проще. Пусть с Земли Вася шлет Пете
радиоимпульсы через каждые 1 сек. Принимая и считая эти импульсы, Петя
определяет, сколько времени в секундах прошло на Земле по Васиным часам. На
чертеже часть мировых линий этих сигналов показана тонкими наклонными линиями.
Из чертежа видно, что количество переданных сигналов с Земли в точности равно
количеству принятых на корабле, то есть, Петя точно (до секунды) определяет
время, прошедшее на Земле по земным часам. За 30 лет это примерно 950 млн
секунд. Иначе говоря, в системе координат Пети на Земле за время его
путешествия прошло 30 лет, как и в системе координат Васи.
Таким
образом, по обоим часам время
путешественника составило 10 лет, время, прошедшее при этом на Земле – 30 лет.
Никакого
парадокса нет, все в порядке.
Что и требовалось доказать!
Дополнительная информация.
Следует
уточнить, что первую половину пути Петя «убегал» от секундных сигналов, а
вторую «нагонял» их, поэтому в пути до звезды он принял их меньше, чем во
второй половине. Это видно из чертежа и отражает проблему синхронизации часов
при смене систем координат в точке C, которую мы сумели обойти, чтобы упростить
объяснение «парадокса».
Мы условились
считать для простоты движение звездолета равномерным и прямолинейным. В
реальности же мировые линии должны быть более сложными.
Мировая
линия путешественника Пети на этом чертеже отображается кривой ACDEFB, линия домоседа
Васи – по-прежнему прямой AB. На чертеже учтено то, что от точки A до C космический
корабль плавно разгонялся, от C до D – тормозил, от D до
E
находился у звезды, никуда не двигался, и что-то там делал, потом от E до
F
разгонялся к Земле, в точке F начал торможение
и в точке B благополучно приземлился. Для детального
расчета времен здесь требуется привлечение математики ОТО и значений
метрического тензора.
Мировые
линии объектов, на которые не действуют никакие силы, в ОТО называются
геодезическими. Они обладают свойством: если два события соединены несколькими
мировыми линиями, то медленнее всего время течет вдоль геодезической. На
чертеже частотой точек вдоль линий иллюстрируется темп времени вдоль них.
Выводы:
Никакого «парадокса близнецов» не существует.
Специальная теория относительности позволяет однозначно распознать
путешествующего брата и брата-домоседа. Оба брата совершенно правильно
определяют периоды путешествия в обеих 
Комментариев нет:
Отправить комментарий