Черные дыры, информация и энтропия

На последнем уроке физики Алису кое-что глубоко озадачило, и она надеялась, что новые знакомые помогут разобраться в запутанных вопросах. Поставив свою чашку чая, она неуверенно спросила:

– «А свет состоит из волн или из частиц?»

– «Да, именно так», – ответил Сумасшедший Болванщик.

Немного раздраженно Алиса переспросила в полный голос:

– «Так какой же ответ? Я повторю вопрос: свет – это частицы или волны?»

– «Совершенно верно», – подтвердил Болванщик.

Для начала попробуем разобраться, что такое плотность информации и оценить ее значение для некоторых реальных носителей.

Пусть книга некоей средней толщины содержит 875 тысяч символов и имеет примерно 200 страниц. Размеры страницы – примерно 25х15 см, рабочая площадь страницы тогда примерно равна 350 кв.см., общая площадь всех страниц книги равна 70000 кв.см.

Считая информацию в 1 символе за 1 байт = 8 бит, получим, что количество информации в такой книге равно 7 миллионов битов. Значит, плотность информации в такой книге – около 100 бит/кв.см, соответственно, каждый бит занимает площадь 0.01 кв.см.

Очевидно, что если книгу написать каким-то микрошрифтом, то плотность информации можно легко повысить в разы. А если применить какие-то технические средства – то и на порядки. Например, объем винчестера на моем компьютере составляет 2 Тбайт или 16 Тбит.

Примечание: непрограммист считает, что в 1 килобайте 1000 байт. Программист считает, что в 1 килограмме 1024 граммов. Сейчас мы физики, а не программисты!

Информация на винчестере расположена на рабочей поверхности площадью примерно 200 кв.см, тогда плотность информации составит примерно 0.08 Тбит/кв.см, или 80 000 000 000 бит/кв.см. Мой винчестер информационно в 800 000 000 раз более плотен, чем книга. Каждый бит в нем занимает площадь около 1.2*10^-11 кв.см. Возникает вопрос: а какова вообще наименьшая площадь, которую может занимать 1 бит? Какова наибольшая возможная плотность информации?

Как ни странно, данный вопрос связан с физикой черных дыр. Физики Ричард Фейнман, Джон Уилер (автор термина «черная дыра») и другие считали, что наименьшей площадкой для размещения 1 бита информации должен служить квадрат со стороной, равной 1 планковской длине, то есть, кванту пространства. Это равно примерно 2.6*10^-66 кв.см, величина непредставимо малая. Иначе говоря, на рабочих поверхностях моего винчестера можно разместить не более чем примерно 10^68 бит информации. Это очень много – гораздо больше, чем во всем Интернете и во всех книгах, на всех CD и жестких дисках в мире, причем во много раз больше. Инженерам есть куда стремиться!

Где-то в 1970-х годах физики-теоретики заинтересовались термодинамическими понятиями энергии, температуры и энтропии применительно к «черным дырам» – ЧД. Наличие энтропии в ЧД можно подтвердить простым мысленным экспериментом. Если забросить контейнер с горячим газом в черную дыру, то может показаться, что он пропадет там бесследно. А это уменьшает значение энтропии Вселенной на величину энтропии контейнера с газом, чего не может быть согласно второму началу термодинамики, гласящему, что энтропия замкнутой системы не может уменьшаться. Следовательно, ЧД также имеет энтропию, а, значит, и энергию, и температуру. Забросив в нее контейнер, мы увеличим эту энтропию не меньше, чем на энтропию контейнера. В этом случае общая энтропия не уменьшается и второе начало не нарушается. А если ЧД имеет энтропию, то она должна иметь и некоторую записанную скрытую информацию. 

Этот вопрос впервые был поставлен израильским физиком Якобом Бекенштейном, аспирантом Джона Уилера. Доказательство Бекенштейна того, что ЧД имеет энтропию, а, значит, и скрытую информацию, гениально просто. Его можно найти в книге физика Леонарда Сасскинда «Битва при черной дыре». Я позволил себе детализировать приведенный расчет, довести его до общей, на мой взгляд, интереснейшей формулы и некоторых дополнительных цифр. Пусть вас не пугает наличие математических  формул и значения очень больших и очень малых чисел. На самом деле они очень просты. Для записи степеней чисел используется значок ^ (тильда), поскольку сайт не поддерживает верхних и нижних индексов. Запись 2*10^44 означает "2 умножить на 10 в степени 44", то есть, двойку с 44 нулями.

Позволю себе напомнить, что ЧД характеризуется сферической поверхностью, именуемой горизонтом событий, изнутри которой наружу не может вырваться ни один сигнал, в том числе и световой. Радиус этой поверхности можно считать радиусом черной дыры. 

Бекенштейн не ставил напрямую вопрос, сколько битов информации записано в ЧД. Он задался вопросом: насколько изменится радиус ЧД, если в нее сбросить 1 бит информации? Несмотря на кажущуюся несравнимость очень малых и очень больших величин, задача может быть решена просто и наглядно.

Однако, сначала определимся, как сбросить 1 бит в ЧД. Будем считать, что 1 бит информации несет одиночный фотон. Он должен иметь длину волны, равную R – радиусу горизонта событий ЧД. Если он имеет меньшую длину волны, то будет нести дополнительную информацию о месте своего падения. Если большую – то не упадет в ЧД, а обогнет ее (явление дифракции).

Известно, что радиус горизонта событий равен

R = 2MG/c^2

где M – масса черной дыры, G – гравитационная постоянная, c -  скорость света.

Таким образом, длина волны фотона λ = R, а его энергия

E = hν = hc/λ =  hc/R

где h – постоянная Планка, ν - частота световой волны: ν=с/λ

Масса фотона m рассчитывается из формулы Эйнштейна: E=mc^2:

m = E/c^2 = h/(Rc) = hc/(2MG)

С падением фотона радиус ЧД станет равным

R + ΔR =  2MG/c^2 + 2mG/c^2

Определим ΔR, подставив значение m:

 ΔR =  2MG/c^2  * (hc)/(2MG)  = h/(Mc)

Начальное значение площади горизонта событий:

S  = 4πR^2

Новое значение площади горизонта событий

S + ΔS = 4π(R + ΔR)^2

Раскроем квадрат суммы двух чисел и пренебрежем членом порядка ΔR^2, тогда

S + ΔS = 4πR^2 + 8πR ΔR

откуда:

 ΔS = 8πR ΔR.

Подставляя значения R и ΔR, выраженные через массу, получим ту самую интереснейшую формулу:

ΔS = 16π hG  / c^3

- приращение площади не зависит от размера и массы черной дыры, а определяется исключительно через мировые константы. 

Размерность проверил: [ΔS] = 1м^2.

Значения мировых физических констант в системе СИ:

h (постоянная Планка)                   = 6,626068x10^-34 кг м^2/с

с (скорость света)                           = 299 792 458 м/с

G (гравитационная постоянная)   = 6,6742х10^-11 м^3/кг с^2

Планковская длина                         = 1.616229х10^-35 м

Если подставить их значения, получится величина порядка

ΔS ≈ 10^-70 м^2

то есть, площадь квадрата со стороной, примерно равной планковской длине. Плотность информации на 1кв.см равна тогда 10^66 бит/кв.см, примерно на 55 порядков выше, чем на моем винчестере.

Поделив S на ΔS получим число бит информации, записанной в черной дыре:

N = M^2/(hc)

Подставляя значение массы для черной дыры в центре Млечного пути, получим с точностью до порядка:

N = 10^100 бит

– один гуго́л бит информации!

Самый емкий и самый компактный носитель информации – черная дыра!

Таким образом:

Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу.

Если представить себе формирующуюся бит за битом черную дыру, то информация по одной планковской единице будет прирастать на поверхности горизонта событий.

Энтропия черной дыры, измеренная в битах, примерно равна

площади ее горизонта, измеренной в планковских единицах